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应用统计硕士概率论公式:参数估计

2015-10-11 11:44:59 来源:百航教育 点击:加入收藏

 概率论公式:参数估计

 

1)点估计

矩估计

设总体X的分布中包含有未知数 ,则其分布函数可以表成  它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ,即 。又设 为总体Xn个样本值,其样本的k阶原点矩为

   

这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有

 

由上面的m个方程中,解出的m个未知参数 即为参数( )的矩估计量。

 

   的矩估计, 为连续函数,则   的矩估计。

极大似然估计

当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为 ,其中  为未知参数。又设 为总体的一个样本,称

 

为样本的似然函数,简记为Ln.  

    当总体X为离型随机变量时,设其分布律为  ,则称

 

为样本的似然函数。

    若似然函数  处取到最大值,则称 分别为 的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。

 

 

   的极大似然估计, 为单调函数,则  的极大似然估计。

2)估计量的评选标准

无偏性

 为未知参数  的估计量。若 ,则称   的无偏估计量。

E  =EX), ES2=DX

有效性

   是未知参数 的两个无偏估计量。若  ,则称 有效。

一致性

   的一串估计量,如果对于任意的正数 ,都有

 

则称   的一致估计量(或相合估计量)。

 

   的无偏估计,且   的一致估计。

只要总体的E(X)D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

3)区间估计

置信区间和置信度

设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发,找出两个统计量  ,使得区间  的概率包含这个待估参数 ,即

 

那么称区间   的置信区间, 为该区间的置信度(或置信水平)。

单正态总体的期望和方差的区间估计

   

 为总体  的一个样本,在置信度为 下,我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下:

i)选择样本函数;

ii)由置信度 ,查表找分位数;

iii)导出置信区间 

已知方差,估计均值

i)选择样本函数

 

(ii) 查表找分位数

 

iii)导出置信区间

 

未知方差,估计均值

i)选择样本函数

 

    (ii)查表找分位数

   

iii)导出置信区间

 

方差的区间估计

i)选择样本函数

 

ii)查表找分位数

   

    iii)导出  的置信区间

 

标签:概率论 硕士 统计