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应用统计硕士概率论公式:随机变量数字特征

2015-10-11 11:46:18 来源:百航教育 点击:加入收藏

 概率论公式:随机变量数字特征

 

1)一维随机变量的数字特征

 

离散型

连续型

期望

期望就是平均值

X是离散型随机变量,其分布律为P( )pkk=1,2,…,n

 

(要求绝对收敛)

X是连续型随机变量,其概率密度为f(x)

 

(要求绝对收敛)

函数的期望

Y=g(X)

 

       

Y=g(X)

 

方差

D(X)=E[X-E(X)]2

标准差

  

对于正整数k,称随机变量Xk次幂的数学期望为Xk阶原点矩,记为vk,

νk=E(Xk)= , k=1,2, ….

对于正整数k,称随机变量XEX)差的k次幂的数学期望为Xk阶中心矩,记为,即

 

  k=1,2, ….

对于正整数k,称随机变量Xk次幂的数学期望为Xk阶原点矩,记为vk,

νk=E(Xk)=

 k=1,2, ….

对于正整数k,称随机变量XEX)差的k次幂的数学期望为Xk阶中心矩,记为,即

 

=

k=1,2, ….

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望EX=μ,方差DX=σ2,则对于任意正数ε,有下列切比雪夫不等式

 

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率

 

的一种估计,它在理论上有重要意义。

2)期望的性质

1        E(C)=C

2        E(CX)=CE(X)

3        E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4        E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:XY独立;

                          充要条件:XY不相关。

3)方差的性质

1        D(C)=0E(C)=C

2        D(aX)=a2D(X)   E(aX)=aE(X)

3        D(aX+b)= a2D(X)   E(aX+b)=aE(X)+b

4        D(X)=E(X2)-E2(X)

5        D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:XY独立;

                             充要条件:XY不相关。

           D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

4)常见分布的期望和方差

 

期望

方差

0-1分布

p

 

二项分布

np

 

泊松分布

  

几何分布

  

超几何分布

  

均匀分布

  

指数分布

  

正态分布

  
 

n

2n

t分布

0

(n>2)

5)二维随机变量的数字特征

期望

  

函数的期望

 

 

方差

  

协方差

对于随机变量XY,称它们的二阶混合中心矩  XY的协方差或相关矩,记为  ,即

 

与记号 相对应,XY的方差DX)与DY)也可分别记为   

相关系数

对于随机变量XY,如果DX>0, D(Y)>0,则称

 

XY的相关系数,记作  (有时可简记为 )。

    | |≤1,当| |=1时,称XY完全相关:

完全相关

而当 时,称XY不相关。

以下五个命题是等价的:

  

cov(X,Y)=0;

E(XY)=E(X)E(Y);

D(X+Y)=D(X)+D(Y);

D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

 

混合矩

对于随机变量XY,如果有  存在,则称之为XYk+l阶混合原点矩,记为 k+l阶混合中心矩记为:

 

6)协方差的性质

(i)               cov (X, Y)=cov (Y, X);

(ii)           cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii)        cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv)               cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

7)独立和不相关

i                    若随机变量XY相互独立,则  ;反之不真。

ii                若(XY)~N ),

XY相互独立的充要条件是XY不相关。

标签:概率论 硕士 统计