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应用统计硕士概率论公式:二维随机变量

2015-10-11 11:46:37 来源:百航教育 点击:加入收藏

 概率论公式:二维随机变量

 

1)联合分布

离散型

如果二维随机向量 XY)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称 为离散型随机量。

 =XY)的所有可能取值为 ,且事件{ = }的概率为pij,,

 

 =XY)的分布律或称为XY的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:

      Y

X

y1

y2

…

yj

…

x1

p11

p12

…

p1j

…

x2

p21

p22

…

p2j

…

      

xi

pi1

 

…

 

…

      

这里pij具有下面两个性质:

1pij≥0i,j=1,2,…);

2

连续型

对于二维随机向量 ,如果存在非负函数 ,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a

 

则称 为连续型随机向量;并称f(x,y) =XY)的分布密度或称为XY的联合分布密度。

    分布密度f(x,y)具有下面两个性质:

1        f(x,y)≥0;

2

2)二维随机变量的本质

 

3)联合分布函数

设(XY)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数

 

称为二维随机向量(XY)的分布函数,或称为随机变量XY的联合分布函数。

    分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:

1

2Fx,y)分别对xy是非减的,即

x2>x1时,有Fx2,y≥F(x1,y);y2>y1时,有F(x,y2) ≥F(x,y1);

3Fx,y)分别对xy是右连续的,即

 

4

5)对于

.

4)离散型与连续型的关系

 

5)边缘分布

离散型

X的边缘分布为

Y的边缘分布为

连续型

X的边缘分布密度为

 

Y的边缘分布密度为

 

6)条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为

 

在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为

 

连续型

在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为

在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为

 

7)独立性

一般型

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型

 

有零不独立

连续型

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断,充要条件:

可分离变量

正概率密度区间为矩形

二维正态分布

 

0

随机变量的函数

X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立, h,g为连续函数,则:

hX1X2,…Xm)和gXm+1,…Xn)相互独立。

特例:若XY独立,则:hX)和gY)独立。

例如:若XY独立,则:3X+15Y-2独立。

8)二维均匀分布

设随机向量(XY)的分布密度函数为

 

其中SD为区域D的面积,则称(XY)服从D上的均匀分布,记为(XY)~UD)。

例如图3.1、图3.2和图3.3

y

1

 

     D1

O       1          x

 

3.1

 

y

D2

 

1

1

 

     

O               2  x

 

 

3.2

 

y

D3

d

 

c

O   a          b   x  

3.3

 

9)二维正态分布

设随机向量(XY)的分布密度函数为

 

其中 5个参数,则称(XY)服从二维正态分布,

记为(XY)~N

由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,

XN

但是若XN  (XY)未必是二维正态分布。

10)函数分布

Z=X+Y

根据定义计算:

对于连续型,fZ(z)

两个独立的正态分布的和仍为正态分布( )。

n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。

 

Z=max,min(X1,X2,…Xn)

 相互独立,其分布函数分别为  ,则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为:

 

 

分布

n个随机变量 相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和

 

的分布密度为

 

我们称随机变量W服从自由度为n 分布,记为W ,其中

 

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性:设

 

 

t分布

XY是两个相互独立的随机变量,且

 

可以证明函数

 

的概率密度为

       

我们称随机变量T服从自由度为nt分布,记为Tt(n)

 

F分布

 ,且XY独立,可以证明 的概率密度函数为

 

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2F分布,记为Ff(n1, n2).

 

 

标签:概率论 硕士 统计