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应用统计硕士概率论公式:随机变量及其分布

2015-10-11 11:46:58 来源:百航教育 点击:加入收藏

 概率论公式:随机变量及其分布

 

1)离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pkk=1,2,…

则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:

显然分布律应满足下列条件:

1    2  

2)连续型随机变量的分布密度

 是随机变量  的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有

       

则称 为连续型随机变量。  称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质:

1°  

2°  

3)离散与连续型随机变量的关系

 

积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与  在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

4)分布函数

 为随机变量,  是任意实数,则函数

 

称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。

  可以得到X落入区间 的概率。分布函数  表示随机变量落入区间(–  ∞x]内的概率。

分布函数具有如下性质:

1°     

2°  是单调不减的函数,即  时,有 

3°    

4°  ,即  是右连续的;

5°  

对于离散型随机变量, 

对于连续型随机变量,   

5)八大分布

0-1分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

 

二项分布

 重贝努里试验中,设事件  发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量,设为  ,则 可能取值为  

  其中 

则称随机变量 服从参数为  的二项分布。记为 

 时,   ,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量 的分布律为

   

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为 或者P( )

泊松分布为二项分布的极限分布(np=λn→∞)。

超几何分布

 

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)

几何分布

,其中p≥0q=1-p

随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)

均匀分布

设随机变量 的值只落在[ab]内,其密度函数 [ab]上为常数 ,即

 

a≤x≤b

      其他,

则称随机变量 [ab]上服从均匀分布,记为X~U(ab)

分布函数为

 

          a≤x≤b

 

0              x

                                          

 

 

1          x>b

 

 

a≤x1

指数分布

       ,

 

0,                ,

 

 

 

 其中  ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。

X的分布函数为

      ,

 

 

               x<0< span="">

    
                         

 

 

 记住积分公式:

 

正态分布

设随机变量 的密度函数为

  

其中   为常数,则称随机变量 服从参数为  的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 

具有如下性质:

1&deg;  的图形是关于  对称的;

2&deg;    时, 为最大值;

 ,则  的分布函数为

。。

 

参数   时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为

 

分布函数为

是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。

&Phi;(-x)1-&Phi;(x)&Phi;(0) 

如果 ~ ,则 ~ 

   

6)分位数

下分位表: 

上分位表: 

7)函数分布

离散型

已知 的分布列为

  

的分布列( 互不相等)如下:

若有某些 相等,则应将对应的  相加作为 的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)&le;y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)


           

标签:概率论 硕士 统计